На мой взгляд, лучше все же ехать на Черное море.
С одной стороны - на Азовском море есть чистые песочные и ракушечные пляжи, вода теплая, море мелкое, но минусом может быть то, что в силу своей "непроточности" Азовское море может быть зачастую мутным...Но если брать в расчет где лучше всего отдыхать, то на Азовском море я бы вам посоветовала со стороны Крыма на мысе Казантип в г.Щелкино. Народу там немного и цены ниже чем на черноморском побережье...Для отдыха с детьми хорошее место - на пляже есть яхт-клуб: прокат досок для виндсерфинга (также и обучение), катамаранов, прокат яхты, для деток-школа юного моряка
Но в отдыхе на побережье Черного моря тоже есть свои преимущества - горы, целебный воздух, хвойные, дубовые и средиземноморские леса, чистая прозрачная водичка в основном, пляжи можно найти как каменные, дикие, так и песчаные, галечные.
Для отдыха с ребенком хорошо будет в западном направлении: Николаевка, Саки, Евпатория, Песчаное. На пляжах - песочек.
В общем - выбор за Вами ;)